四元数基本定义

四元数是一个4维数，可以写成： $q = w + xi + yj + zk$

或者用向量形式： $q = [w, x, y, z]^T$

其中：

可以把它看作：一个标量 $w$ （实部）+一个3维向量 $[x, y, z]$ （虚部）

四元数的几何意义

想象一个4维空间：

单位四元数：

所有满足 $w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的四元数
构成4维空间中的单位球面（3维球面）
类比：
- 2D单位圆： $x^2 + y^2 = 1$
- 3D单位球： $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
- 4D单位超球： $w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1$

只有单位四元数才能表示旋转

给定：旋转轴： $\mathbf{n} = [n_x, n_y, n_z]$ （单位向量）；旋转角度： $\theta$

对应的单位四元数：

$q = [\cos(\theta/2), \sin(\theta/2) \cdot n_x, \sin(\theta/2) \cdot n_y, \sin(\theta/2) \cdot n_z]$ ，四元数用"半角"表示旋转

或者：

$q = [\cos(\theta/2), \sin(\theta/2) \cdot \mathbf{n}]$

例:

旋转180度： $\theta = 180°$ ，所以 $\theta/2 = 90°$ 四元数： $q = [\cos(90°), \sin(90°) \cdot \mathbf{n}] = [0, \mathbf{n}]$
绕Z轴旋转90度
- 旋转轴： $\mathbf{n} = [0, 0, 1]$ （Z轴方向）
- 旋转角度： $\theta = 90°$
- 计算： $\cos(45°) \approx 0.707$ ， $\sin(45°) \approx 0.707$
- 四元数： $q = [0.707, 0, 0, 0.707]$
- $0.707^2 + 0^2 + 0^2 + 0.707^2 = 0.5 + 0.5 = 1$
绕X轴旋转180度
- 旋转轴： $\mathbf{n} = [1, 0, 0]$ （X轴方向）
- 旋转角度： $\theta = 180°$
- 计算： $\cos(90°) = 0$ ， $\sin(90°) = 1$
- 四元数： $q = [0, 1, 0, 0]$

定义： $||q|| = \sqrt{w^2 + x^2 + y^2 + z^2}$

几何意义：

符号： $\otimes$
含义：先应用旋转 $q_1$ ，再应用旋转 $q_2$
公式： $q_1 \otimes q_2 = [w_1, \mathbf{v}1] \otimes [w_2, \mathbf{v}_2]$ $= [w_1w_2 - \mathbf{v}1 \cdot \mathbf{v}_2, w_1\mathbf{v}_2 + w_2\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2]$

实部： $w_1w_2$ 减去向量点积

虚部： $w_1\mathbf{v}2 + w_2\mathbf{v}_1$ 加上向量叉积

例子：

$q_1 = [0.707, 0.707, 0, 0]$ （绕Z轴转90度）

$q_2 = [0.707, 0, 0.707, 0]$ （绕Y轴转90度）

计算 $q_1 \otimes q_2$ ：

实部： $0.707 \times 0.707 - (0.707, 0, 0) \cdot (0, 0.707, 0) = 0.5 - 0 = 0.5$
虚部： $0.707 \times (0, 0.707, 0) + 0.707 \times (0.707, 0, 0) + (0.707, 0, 0) \times (0, 0.707, 0)= (0, 0.5, 0) + (0.5, 0, 0) + (0, 0, 0.5) = (0.5, 0.5, 0.5)$
结果： $q_1 \otimes q_2 = [0.5, 0.5, 0.5, 0.5]$