已知线性系统的状态空间方程为：

$\begin{aligned} & \dot{x}=A x+B u \\ & y=C x\end{aligned}$

观测器的目标是估计状态 $x$，其结构为：

$\hat{\dot{x}}=\hat{A} \hat{x}+\hat{B} u+L(y-\hat{y})$

其中 $\hat{y}=\hat{C} \hat{x}$。对于全维状态观测器，我们通常假设模型准确，即 $\hat{A}=A, \hat{B}=B, \hat{C}=C$。因此观测器方程为：

$\hat{\dot{x}}=A \hat{x}+B u+L(y-C \hat{x})$

定义状态估计误差 $e=x-\hat{x}$，对 $e$ 求导：

$\dot{e}=d / d t(x-\hat{x})=\dot{x}-\hat{\dot{x}}$

将状态方程和观测器方程代入：

$\begin{aligned} & \dot{x}=A x+B u \\ & \hat{\dot{x}}=A \hat{x}+B u+L(y-C \hat{x})=A \hat{x}+B u+L(C x-C \hat{x})\end{aligned}$

所以有：

$\begin{aligned} & \dot{e}=[A x+B u]-[A \hat{x}+B u+L(C x-C \hat{x})] \\ & =A x+B u-A \hat{x}-B u-L(C x-C \hat{x}) \\ & =A(x-\hat{x})-L C(x-\hat{x}) \\ & =(A-L C)(x-\hat{x}) \\ & =(A-L C) e\end{aligned}$

因此，误差动态方程为：

$\dot{\mathrm{e}}=(\mathrm{A}-\mathrm{LC}) \mathrm{e}$

这是一个齐次线性微分方程，其解为：

$e(t)=e^{(A-L C) t} e(0)$

为了确保误差 $e$ 随时间收敛到 0，需要系统$\dot{\mathrm{e}}=(\mathrm{A}-\mathrm{LC}) \mathrm{e}$是渐近稳定的，即：

$\lim _{t \rightarrow \infty} e^{(A-L C) t}=0$

充要条件是系统矩阵的所有特征值都具有负实部。

因此，矩阵$A-LC$必须是Hurwitz矩阵。

即，观测器设计的核心就是通过选择合适的增益矩阵L，使得A-LC的特征值（即观测器极点）都位于复平面的左半开平面。

——通过选择 L 可配置 (A−LC) 的特征值

——特征值实部越负，收敛速度越快（但需考虑噪声放大）